Новая Интуиционистская Логика ХХI века

VicRus

Administrator

Новый Человек XXI века




Великая теорема Геделя Новая Интуиционистская Логика ХХI века​


Классическое понятие истинности базируется на основном принципе теории отражения: утверждение истинно, если и только если оно соответствует действительности.
В ХХ веке против классической концепции истинности выдвинулось возражение, что она не объясняет истинность утверждений о будущем, о возможном и необходимом. Если действительность понимать просто как совокупность наличных фактов, то эти трудности непреодолимы. В ХХ веке развитие новой модальной логики показало, что можно построить классическую теорию истинности и для таких утверждений. В этом случае действительность понимается не как совокупность наличных фактов и состояний, но и как то, что потенциально содержит в себе возможности будущих состояний.
Классическая логика абстрагируется от того, что познание есть процесс, что знание не дано раз и навсегда в готовом виде. Учет этого фактора приводит к более объемному понятию истинности. Учет того, что знание потенциально присутствует в действительности, приводит нас к интуиционистской логике.
Интуиционистскую логику часто противопоставляют классической, как логику бытия логике классической рассудочности
Начало XX века ознаменовалось кризисом в математике. На рубеже XIX—XX веков в одном из фундаментальных разделов математики — теории множеств были обнаружены парадоксы-противоречия, возникающие в результате совершенно корректных рассуждений.
Многовековое развитие математики показало, что непротиворечивость — это ее основополагающий научный принцип. Математическая теория R является непротиворечивой, если в ней не наличествуют взаимоисключающие предложения. Наличие противоречий «разваливает» математическую теорию. Простой пример: если бы согласно таблице умножения 9 : 3 = 3 и 8 : 3 = 3, то ее невозможно было бы использовать.
В основе всей математики лежит теория множеств — детище Георга Кантора.


Кантор Георг (1845-1918) — выдающийся немецкий математик. Кантор разработал теорию бесконечных множеств, систематически изложил принципы своего учения о бесконечности. Теория бесконечных множеств получила всеобщее признание. В настоящее время она служит фундаментом для всех важнейших математических дисциплин, как ее логическая основа.


Кантор Георг (1845-1918) — выдающийся немецкий математик. Кантор разработал теорию бесконечных множеств, систематически изложил принципы своего учения о бесконечности. Теория бесконечных множеств получила всеобщее признание. В настоящее время она служит фундаментом для всех важнейших математических дисциплин, как ее логическая основа.
Многим математикам казалось, что благодаря исследованиям Кантора математика должна стать более стройной и единой — состояние, которое немецкий математик-универсал Давид Гильберт назвал «раем». Когда обнаружились противоречия в теории множеств, математики стали выражать сомнения в самих основаниях математики, Гильберт писал: «Никому не дано изгнать нас из канторовского рая!»
Из канторовского рая математиков и логиков, в итоге, изгнал австрийский математик и логик Курт Гедель.


Курт Гедель австрийский логик, математик и философ математики. Наиболее известен сформулированными и доказанными им теоремами о неполноте, которые оказали огромное влияние на представление об основаниях математики. Считается одним из наиболее выдающихся мыслителей XX века.


Курт Гедель австрийский логик, математик и философ математики. Наиболее известен сформулированными и доказанными им теоремами о неполноте, которые оказали огромное влияние на представление об основаниях математики. Считается одним из наиболее выдающихся мыслителей XX века.
Главная идея Геделя — идея « ограничивающих» результатов

Великая теорема Геделя "Любая формальная система либо неполна, либо противоречива"​

В результате разрешения кризиса в 1931 году Курт Гедель показал, что понятие «доказуемость» уже понятия «истинность» вне зависимости от того, какую аксиоматическую систему выбираем. Он сформулировал терему о неполноте:
все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения
Главная идея Геделя — идея « ограничивающих» результатов - "любая формальная система либо неполна, либо противоречива'. Такое доказательство закончило эпоху надежд, что математика сможет решить все проблемы. Сейчас эта идея в «воздухе», тогда, в 30-40-х годах XX столетия, была «громом среди ясного неба». Выводы Геделя произвели электризующий эффект на математиков, логиков и философов. Современная культура впитала идеи Геделя вместе с революционными идеями теории относительности и квантовой механики. Эти концепции изменили логику мышления ХХ века.


scale_1200


В результате развития математической логики была установлена неизбежная ограниченность любой «механической» системы получения математических результатов. Таким образом, мечта Лейбница: все рассуждения свести к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам — оказалась невыполнимой.
Один из краеугольных камней философии начала века — сама идея познаваемости мира с помощью традиционного формального логического мышления, т. е. с помощью классических логических законов разума была разрушена
Во всяком случае, принципиальная неразрешимость проблемы «разрешимости всех проблем» была установлена в 30-е годы австрийским математиком Куртом Геделем.
Интуиционистская логика

Известный французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), рефлексируя собственное математическое творчество, актуализировал идею интуиции, лежащую в основе его творческого метода. По его мыс- ли, теория — это последующая формализация первоначально интуитивной идеи. В этом смысле Пуанкаре является продолжателем Рене Декарта с его представлениями о врожденных идеях, являющихся основаниями познания.


Анри Пуакаре 1854 - 1912) величайший французский математик -универсал. Глава Парижской Академии наук


Анри Пуакаре 1854 - 1912) величайший французский математик -универсал. Глава Парижской Академии наук
В ХХ веке в математике и логике возникло движение интуиционизма, для которого работы Пуанкаре сыграли роль пускового толчка. Особенность интуиционизма — конструктивный подход к рождению нового знания. В этой логике суждения понимаются не так, как в классической. В классической логике утверждение А означает, что положение дел, описываемое А, имеет место в действительности. В интуиционистской оно означает: доказано конструктивно, что положение дел может иметь место.
.
 

VicRus

Administrator

Новый Человек XXI века


Крах аксиоматической вселенной математика Гильберта и сущность гениального результата теоремы Гёделя о неполноте​


23 июля

«Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим». Бертран Рассел
В 1931 г. в одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно-таки устрашающим названием «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем». Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гёдель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики ХХ века. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики. Подлинно революционный характер выводов, к которым пришел Гёдель, и их важнейшее философское значение ныне общепризнанны.
Предыстория его открытия
В 1900 году в столице Франции состоялся II Международный конгресс математиков. На заседании секции преподавания и методологии Гильберт читал доклад об основных проблемах математики, решение которых должно быть найдено в наступающем ХХ веке. В том же году был опубликован список 23 проблем Гильберта.
Под вторым номером в его списке значился вопрос - центральная проблема оснований математики: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Нужно было доказать, что система аксиом взаимно непротиворечива, и из нее можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого суждения. Непротиворечивость — это основополагающий научный принцип математики. Математическая теория R является непротиворечивой, если в ней отсутствуют взаимоисключающие предложения.
Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто. Требование непротиворечивости вплоть до середины ХХ века являлось обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории.


Давид Гильберт немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР.


Давид Гильберт немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР.

...
 

VicRus

Administrator
...


Новый Человек XXI века

42 подписчика





17нравитсяНе нравится

5комментариев
Поделиться

Крах аксиоматической вселенной математика Гильберта и сущность гениального результата теоремы Гёделя о неполноте​


23 июля
297 прочитали



«Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим». Бертран Рассел
В 1931 г. в одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно-таки устрашающим названием «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем». Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гёдель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики ХХ века. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики. Подлинно революционный характер выводов, к которым пришел Гёдель, и их важнейшее философское значение ныне общепризнанны.
Предыстория его открытия
В 1900 году в столице Франции состоялся II Международный конгресс математиков. На заседании секции преподавания и методологии Гильберт читал доклад об основных проблемах математики, решение которых должно быть найдено в наступающем ХХ веке. В том же году был опубликован список 23 проблем Гильберта.
Под вторым номером в его списке значился вопрос - центральная проблема оснований математики: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Нужно было доказать, что система аксиом взаимно непротиворечива, и из нее можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого суждения. Непротиворечивость — это основополагающий научный принцип математики. Математическая теория R является непротиворечивой, если в ней отсутствуют взаимоисключающие предложения.
Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто. Требование непротиворечивости вплоть до середины ХХ века являлось обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории.


Давид Гильберт немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР.


Давид Гильберт немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР.

...
 

VicRus

Administrator
...

Гильберт полагал, что аксиоматический метод может стать основой не только математики, но и науки в целом. В 1930 году в статье «Познание природы и логика» он писал: «...даже в самых обширных по своему охвату областях знания нередко бывает достаточно небольшого числа исходных положений, обычно называемых аксиомами, над которыми затем чисто логическим путем надстраивается всё здание рассматриваемой теории».
Какими были бы для дальнейшего развития науки последствия успеха Гильберта и его школы? Если бы, как он считал, вся математика (и наука в целом) сводилась к системе аксиом, то их можно было бы ввести в вычислительную машину, способную по программе, следующей общим логическим правилам, обосновать любое утверждение (то есть доказать теорему), вытекающее из исходных утверждений.
Однако «вселенская аксиоматизация» не состоялась. Вся суперамбициозная, грандиозная программа, над которой несколько десятилетий работали крупнейшие математики мира, была опровергнута одной-единственной теоремой. Ее автором был Курт Гёдель, которому к тому времени едва исполнилось 25 лет.

Сущность аксиоматического метода

Чтобы понять характер этой проблемы, немного углубимся в сущность «аксиоматического метода» и вспомним, что геометрия строится как дедуктивная наука. Этим она отличается от экспериментальных наук, выводы которых приемлемы постольку, поскольку они согласуются с данными наблюдения и опыта. Идея о том, что любое верное утверждение может быть получено в качестве заключительного шага строгого логического доказательства, сформировалась еще в Древней Греции; именно греческим математикам принадлежит честь открытия так называемого «аксиоматического метода» и применения его для систематического изложения геометрии. Для аксиоматического метода характерно, что некоторые предложения — так называемые аксиомы или постулаты (примером может служить предложение, согласно которому через любые две точки можно провести одну и только одну прямую) — принимаются без доказательства; все же остальные предложения данной теории выводятся затем из этих аксиом. Можно сказать, что аксиомы образуют «базис» системы, в то время как теоремы, получаемые из аксиом при помощи одних только логических законов, — это «надстройка».
"Аксиоматическое построение геометрии произвело глубокое впечатление на мыслителей всех времен — ведь совсем небольшого числа аксиом оказалось достаточным, чтобы из них можно было вывести необозримое количество теорем. Более того, если каким-либо образом можно было удостовериться в истинности аксиом, а фактически на протяжении почти двух тысячелетий большинство ученых считало истинность аксиом само собой разумеющейся, то это уже автоматически обеспечивало истинность всех теорем и их совместимость. Поэтому аксиоматическое изложение геометрии в глазах многих поколений ученых представлялось своего рода идеальным образцом научного знания. И вполне естественно было задать вопрос, можно ли другие научные дисциплины, кроме геометрии, построить на такой же строгой аксиоматической основе. Тем не менее, хотя некоторые разделы физики формулировались аксиоматически еще в античные времена (например, Архимедом), до недавнего времени геометрия в глазах большинства ученых представлялась, по сути дела, единственной областью математики, построенной на аксиоматической базе. Однако в течение последних двух столетий аксиоматический метод стал применяться все более широко и интенсивно. И для новых областей математики, и для более традиционных ее разделов, таких, например, как общая арифметика целых чисел, были сформулированы системы аксиом, представляющие эти математические дисциплины адекватным образом. В результате укоренилось довольно прочное убеждение, что для любой математической дисциплины можно указать перечень аксиом, достаточный для систематического построения всего множества истинных предложений данной науки" «Доказательство Гёделя» Эрнест Нагель и Джеймс Ньюмен

Работа Гёделя показала полную несостоятельность такого убеждения. Она представила математикам поразительный и обескураживающий вывод, согласно которому возможности аксиоматического метода определенным образом ограничены, причем ограничения таковы, что даже обычная арифметика целых чисел не может быть полностью аксиоматизирована. Более того, Гёдель доказал, что для весьма широкого класса дедуктивных теорий нельзя доказать их непротиворечивость. Работа Гёделя обусловила существенную переоценку перспектив философии математики и философии науки в целом.
7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил научный конгресс по основаниям математики, на котором 24-летний австрийский математик Курт Гёдель обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта по второму пункту не может быть доказана: при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые одновременно невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
Мы находим это парадоксальным. Математический мир был шокирован. Сначала математики надеялись, что его результат зависит от особенностей системы, в которой работал Гедель, то есть формальной арифметики. Но в следующие десятилетия ряд выдающихся математиков, в том числе Стивен К. Клини, Эмиль Пост, Дж. Б. Россер и Алан Тьюринг, показали, что это не так. Теорема Геделя о неполноте работает в любой формальной дедуктивной логической системе.
Рассмотрим существо теоремы по аналогии на языке компьютеров
Представьте, что у нас есть доступ к очень мощному компьютеру под названием Oracle. Oracle просит пользователя «вводить» инструкции, которые следуют точным правилам, и предоставляет «вывод», который следует этим правилам. Один и тот же ввод всегда дает одинаковый результат. Ввод и вывод записываются как целые числа и Oracle выполняет только обычные операции сложения, вычитания, умножения и деления (когда это возможно). В отличие от обычных компьютеров, здесь нет проблем с эффективностью или временем. Oracle будет выполнять данные инструкции должным образом независимо от того, сколько времени это займет, и остановится только тогда, когда они будут выполнены - даже если это займет более миллиона лет.
Рассмотрим простой пример. Помните, что положительное целое число (назовем его N), большее 1, называется простым числом, если оно не делится ни на одно положительное целое число, кроме 1 и N. Как бы вы составили инструкцию для Oracle по решению задачи: «является ли N простым»? Скажите ему разделить N на каждое целое число от 1 до N-1 и прекратить, когда деление выйдет равномерно или достигнет N-1?
Теорема Гёделя говорит о том, что существуют правильно поставленные вопросы, на которые Oracle не может ответить. Другими словами, есть утверждения, которые, хотя и правильно введены, Oracle не может оценить, чтобы решить, истинны они или ложны. Такие утверждения называются неразрешимыми и очень сложными.
Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между вычислениями, которые производит человеческий мозг и компьютер. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки двузначной дедуктивной логики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с логически противоречивым суждением, всегда способен интуитивно определить его истинный смысл.
Пример парадоксальных суждений: характер Пиpnoнтa Моргана, которого считали жрецом американского капитализма, был соткан из противоречий — Морган был дружелюбен, общителен и в то же время скромен; осмотрительно-нетороплив, но импульсивен; бесхитростен до простодушной наивности и невероятно практичен; деспотичен и уступчив; расточителен и бережлив; бывал непроницаемо замкнут и глубоко сентиментален.
Зрелый ум мыслит парадоксами, потому что они составляют сущность нелинейного сложного мира живого.. Формально-вычислительные, «аристотелевские» методы, лежащие в основе логического мышления работают только в области детерминистического механического мира имеющего мало общего с нелинейным сложным миром живых систем.
.
 

Сверху